Estudamos soluções periódicas para a Equação de Schrödinger não linear (NLSE)
−
ℏ
2
2m
uxx(x, t) + g|u(x, t)|
2u(x, t) = iℏut(x, t).
Em particular, estudamos o problema de Cauchy
iℏut + uxx = g|u|
2u, |ℏ| = |2m| = 1 g < 0, (x, t) ∈ R × R
u(x, 0) = u0 = ϕ(x) ∈ H1
per([0, L])
associado a soluções do tipo onda viajante periódica. Estabelecemos os resultados de boa
colocação global e mostramos a existência de ondas dnoidais que satisfazem a EDO
ϕ
′′
ω − ωϕω − gϕ3
ω = 0.
Além disso, estabelecemos os resultados de análise espectral para os operadores associados
a EDO acima via teoria Floquet. Com esses resultados, mostramos a estabilidade dessas
soluções em H1
per([0, L]) para perturbações arbitrárias dos dados iniciais. Por fim, interpretamos os resultados matemáticos do ponto de vista físico e avaliamos o comportamento
das soluções associadas ao termo de não linearidade g.
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