ALGUNS RESULTADOS EM CÁLCULO FRACIONÁRIO

Abstract

O cálculo fracionário é um ramo da Matemática que generaliza os conceitos clássicos de integração e derivação para ordens não inteiras. Este trabalho apresenta os fundamentos teóricos dessa área, destacando o papel da função gama na extensão do conceito de fatorial. O estudo concentra-se na integral fracionária de Riemann-Liouville e em derivadas fracionárias aplicadas a algumas funções elementares. Foram desenvolvidos exemplos envolvendo integrais fracionárias de funções potência com expoentes positivos, bem como derivadas fracionárias de funções potência com expoentes positivos e negativos e das funções trigonométricas seno e cosseno. Os resultados mostraram que duas integrais fracionárias sucessivas de ordem aplicadas à função constante 𝑓(𝑥) = 1 reproduzem a integral de primeira ordem, resultando em 𝑓(𝑥) = 𝑥. De forma análoga, duas derivadas fracionárias sucessivas de ordem aplicadas à função 𝑓(𝑥) = 𝑥 reproduzem a derivada de primeira ordem, cujo resultado é igual a 1. Além disso, verificou-se que as derivadas fracionárias das funções seno e cosseno apresentam um padrão consistente para ordens arbitrárias com o auxílio da fórmula de soma de arcos, confirmando a coerência da teoria. Conclui-se que o cálculo fracionário constitui uma extensão natural do cálculo diferencial e integral clássico, preservando propriedades fundamentais das derivadas e integrais e oferecendo ferramentas matemáticas adequadas para a modelagem de fenômenos complexos em diversas áreas do conhecimento.