Estabilidade de soluções periódicas para a equação de Schrödinger não linear

Abstract

Estudamos soluções periódicas para a Equação de Schrödinger não linear (NLSE) − ℏ 2 2m uxx(x, t) + g|u(x, t)| 2u(x, t) = iℏut(x, t). Em particular, estudamos o problema de Cauchy    iℏut + uxx = g|u| 2u, |ℏ| = |2m| = 1 g < 0, (x, t) ∈ R × R u(x, 0) = u0 = ϕ(x) ∈ H1 per([0, L]) associado a soluções do tipo onda viajante periódica. Estabelecemos os resultados de boa colocação global e mostramos a existência de ondas dnoidais que satisfazem a EDO ϕ ′′ ω − ωϕω − gϕ3 ω = 0. Além disso, estabelecemos os resultados de análise espectral para os operadores associados a EDO acima via teoria Floquet. Com esses resultados, mostramos a estabilidade dessas soluções em H1 per([0, L]) para perturbações arbitrárias dos dados iniciais. Por fim, interpretamos os resultados matemáticos do ponto de vista físico e avaliamos o comportamento das soluções associadas ao termo de não linearidade g. Palavras-chave: <equação de Schrödinger não linear>, <soluções exatas>, <estabilidade>, <aspectos físicos e matemáticos>.